Álgebra moderna; Nuevas teorías
El doctor José Ríos Montes realizó tanto sus estudios de licenciatura en Matemáticas como los de maestría y doctorado en Ciencias, en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México (unam), obteniendo este último grado con la tesis “Algunos aspectos de la teoría de torsión de Goldie”. Desde 2002, cuenta con la máxima categoría de estímulos en el Programa de Primas al Desempeño del Personal Académico de Tiempo Completo y, desde 2011, es investigador nivel III en el Sistema Nacional de Investigadores.
Posee una trayectoria de casi 40 años como investigador en el Instituto de Matemáticas y 42 como profesor de asignatura en la Facultad de Ciencias, donde ha impartido 93 cursos de licenciatura y 34 de posgrado. Su trabajo se ha enfocado en el Álgebra moderna, la cual ha dado lugar al nacimiento de diversas teorías (de anillos, módulos, torsión, retículas, categorías y Álgebra universal), sobre las que ha generado conocimiento en conjunto con sus alumnos, aportando valiosas caracterizaciones y clasificaciones de estructuras, además de establecer puentes entre ellas.
Se distingue por buscar que sus estudiantes desarrollen habilidades de pensamiento analítico y crítico, que incrementen su curiosidad e intuición Matemática y comprendan cabalmente los problemas para encontrar al menos una forma de abordarlos y brindar las soluciones. Ha ayudado a consolidar investigadores que ahora integran la escuela mexicana de la teoría de los anillos, módulos y retículas, la cual formó junto con el que fuera su maestro, el doctor Francisco Raggi Cárdenas. Dicho grupo de estudio aborda tanto los problemas planteados por algebristas reconocidos mundialmente como los que surgen en el seno de esta escuela, por lo que sus miembros han creado enfoques diferentes y técnicas innovadoras respecto de las teorías matemáticas mencionadas. Derivado de ello, el doctor Ríos Montes organiza el Seminario de Teoría de Anillos y Módulos, el cual sesiona cada martes desde hace 20 años.
Su labor como docente ha impulsado el desarrollo profesional de muchos de sus alumnos, quienes actualmente trabajan en instituciones públicas como la unam, la Universidad Autónoma Metropolitana (uam) y la Universidad Autónoma de Ciudad Juárez; y en instituciones privadas, como el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey y el Instituto Tecnológico Autónomo de México, además de la Universidad de Murcia en España; en cambio, los más jóvenes se encuentran realizando estancias posdoctorales en el Centro de Ciencias Matemáticas de Michoacán, en Estados Unidos y en la República de Corea.
Ha escrito, en gran medida junto con sus alumnos, 57 artículos publicados en revistas de renombre internacional y cuatro sometidos a arbitraje, los cuales han sido citados en distintas investigaciones realizadas alrededor del mundo. Los inicios de su trabajo se remontan a finales de los setenta, momento en el que sus resultados fueron reconocidos e incluidos en uno de los libros más importantes sobre las teorías de la torsión, titulado Torsion Theories y escrito por J. S. Golan de la Universidad de Haifa.
Otros de los resultados que ha obtenido, en conjunto con G. Tapia, H. Rincón y A. Alvarado –miembros del grupo mexicano de la teoría de los anillos– aparecen en el libro de Dauns y Zhou, titulado Classes of Modules, que fue publicado por Chapman and Hall en la serie Pure and Applied Mathematics en 2006. De igual forma, es coautor de múltiples artículos con distinguidos especialistas en la teoría de los anillos y los módulos, como Francisco Raggi, Mark Teply, C. Nastasescu, R. Wisbauer, A. Facchini y J. van den Berg.
Al lado de diversos colaboradores, ha estudiado la teoría de la descomposición de los módulos inyectivos no singulares y realizado caracterizaciones para anillos regulares autoinyectivos que enriquecen la teoría desarrollada por K. Goodearl y A. Boyle; ha analizado la retícula en las teorías de torsión hereditaria sobre un anillo, y creado el concepto de p- dimensión, herramienta que le sirvió para obtener caracterizaciones de los anillos semiartinianos y otras nuevas de los noetherianos, introducidos por G. Krause; también ha indagado las teorías de torsión espectral, introducidas por J. L. Gómez Pardo, donde ha logrado describir por completo la retícula de las generalizaciones de una teoría de la torsión espectral; establecido teoremas de estructura para el anillo de cocientes; trabajado las relaciones entre el concepto de dimensión y las teorías de torsión espectral, y creado el concepto de clase connatural (conatural), con el que da nuevas caracterizaciones a los anillos perfectos y los anillos max.
Igualmente, de manera conjunta, estudió los módulos plenos en relación con una teoría de la torsión, pudiendo describir las propiedades algebraicas y reticulares de ciertos intervalos en la retícula de las generalizaciones de una teoría de la torsión, así como la estructura de los módulos plenos relativos, resultados que han enriquecido la teoría que iniciaron previamente Ann Boyle y Julius Zelmanowitz con otra terminología; estudió la existencia de módulos inescindibles y módulos de rango finito en los dominios de Ore y en los anillos llamados extensiones triviales; trabajó en torno a un operador, en la categoría de anillos, cuyo límite de iteración se denomina clausura anular, alcanzando resultados acerca de algunas subclases de la retícula de los prerradicales; abordó el estudio de la teoría de idiomas y de marcos –conceptos altamente abstractos de la teoría de retículas–, donde consideró los operadores llamados derivadas y obtuvo resultados concernientes a la dimensión de Gabriel, la dimensión de Boyle y al marco de las teorías de torsión hereditaria.
Ha dirigido 23 tesis de licenciatura, dos de maestría y nueve de doctorado, además de seis tesinas de maestría. Durante la época en la que era necesario presentar cinco exámenes generales orales para obtener el grado de maestro en ciencias, fue asesor de 48 estudiantes para preparar el examen de Álgebra, así como para los diversos temas selectos que los maestrantes presentaban de manera optativa; además, fungió como sinodal en ellos. Por otra parte, ha participado en exámenes doctorales de la uam, de la Universidad de Pretoria, en Sudáfrica, y de la Universidad de Udine, en Italia, en la que también ha sido profesor visitante, al igual que en las universidades de Murcia, Granada, Almería, y la Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf. Asimismo, ha impartido numerosas conferencias; colaborado en la Cátedra Patrimonial de la Universidad Autónoma del Estado de México –cuyo propósito es formar grupos de investigación– en 1995 y 1996; es miembro regular de la Academia Mexicana de Ciencias, de la Sociedad Matemática Mexicana y de la American Mathematical Society; ha sido árbitro de numerosos artículos en revistas nacionales e internacionales; es editor del Journal of Algebra, Number Theory and Applications; y ha organizado diferentes congresos nacionales e internacionales en apoyo al avance de la Matemática en México.
Por su brillante trayectoria y su innegable vocación docente, el doctor José Ríos Montes es honorable ganador del Premio Universidad Nacional 2018, en el área de Docencia en ciencias exactas.